Механика сплошной среды седов: Страница не найдена | Библиотека БрГУ имени А.С. Пушкина

Дополнительная литература.

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости М.: Высшая школа, 1976. 272 с.
2. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

Дополнительная литература.

1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

Дополнительная литература.

1. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

Дополнительная литература

1. Мусхелищвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.
2. Мусхелищвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962. 512 с.
3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
4. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 272 с.
5. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук.Думка, 1981. 324 с.

Основные напряжения и деформации

Введение

Основные напряжения – это соответствующие нормальные напряжения под углом \ (\ theta_P \), при котором напряжение сдвига, \ (\ tau ‘_ {xy} \) равно нулю.

Эта страница выполняет полный трехмерный тензор трансформируется, но все еще может использоваться для двумерных задач .. Введите значения в верхнем левом углу 2×2 и поверните в плоскости 1-2, чтобы выполнять преобразования в 2-D. 2 \ theta_P) \]

\ [ \ загар (2 \ theta_P) \; знак равно {2 \ tau_ {xy} \ over \ sigma_ {xx} – \ sigma_ {yy}} \]
Матрица преобразования, \ ({\ bf Q} \), является

\ [ {\ bf Q} = \ left [\ matrix { \; \; \; \ cos \ theta_P & \ sin \ theta_P \\ – \ sin \ theta_P & \ cos \ theta_P } \верно] \]
Вставка этого значения для \ (\ theta_P \) обратно в уравнения для нормальных напряжений дает основные ценности.Т \) с \ ({\ bf Q} \) на основе \ (\ theta_P \).

Обозначение основного напряжения

Пример двухмерного главного напряжения

\ [ \ boldsymbol {\ sigma} = \ left [\ matrix { 50 & \; \; \; 30 \\ 30 и -20 } \верно] \]
Основная ориентация

\ [ \ begin {eqnarray} \ tan (2 \ theta_P) & = & {2 * 30 \ более 50 – (\ text {-} 20)} \\ \\ \\ \ theta_P & = & 20.\ circ)} \верно] \\ \\ \\ знак равно \оставил[ \ matrix {61.1 & \; \; \; 0.0 \\ 0,0 и -31,1} \верно] \ end {eqnarray} \]
Это подтверждает, что значение главного напряжения 61,1 в слоте \ (\ sigma_ {11} \) действительно 20,3 ° от оси X. Значение \ (\ sigma_ {22} \) находится на 90 ° от первого.

Трехмерные главные напряжения

\ [ \оставил[ \ matrix {\ sigma ‘_ {11} & \ sigma’ _ {12} & \ sigma ‘_ {13} \\ \ sigma ‘_ {12} & \ sigma’ _ {22} & \ sigma ‘_ {23} \\ \ sigma ‘_ {13} & \ sigma’ _ {23} & \ sigma ‘_ {33}} \ right] = \оставил[ \ matrix {q_ {11} & q_ {12} & q_ {13} \\ q_ {21} & q_ {22} & q_ {23} \\ q_ {31} и q_ {32} и q_ {33}} \верно] \оставил[ \ matrix {\ sigma_ {11} & \ sigma_ {12} & \ sigma_ {13} \\ \ sigma_ {12} & \ sigma_ {22} & \ sigma_ {23} \\ \ sigma_ {13} & \ sigma_ {23} & \ sigma_ {33}} \верно] \оставил[ \ matrix {q_ {11} & q_ {21} & q_ {31} \\ q_ {12} & q_ {22} & q_ {32} \\ q_ {13} и q_ {23} и q_ {33}} \верно] \]
Вторая матрица \ ({\ bf Q} \) снова является транспонированной первой.

Эта страница выполняет тензорные преобразования.

И эта страница вычисляет главные значения (собственные значения) и главные направления (собственные векторы).

Важно помнить, что входные данные на обеих страницах должны быть симметричными. По факту, обе страницы обеспечивают это.

Собственные значения, указанные выше, могут быть записаны в матричной форме как

\ [ \ boldsymbol {\ sigma} = \ left [\ matrix { 24 & 0 & 0 \\ 0 и 125 и 0 \\ 0 & 0 & 433} \верно] \]

Максимальное напряжение сдвига

\ [ \ tau_ {max} = {\ sigma_ {max} – \ sigma_ {min} \ over 2} \]
Это применимо как к 2-D, так и к 3-D. Максимальный сдвиг всегда возникает в ориентация системы координат, которая повернута на 45 ° от основной система координат. Для тензора главных напряжений выше

\ [ \ boldsymbol {\ sigma} = \ left [\ matrix { 24 & 0 & 0 \\ 0 и 125 и 0 \\ 0 & 0 & 433 } \верно] \]
Максимальное и минимальное главные напряжения находятся в слотах \ (\ sigma_ {33} \) и \ (\ sigma_ {11} \), соответственно.Таким образом, максимальная ориентация сдвига достигается вращением главную систему координат на 45 ° в плоскости (\ (1-3 \)).

Само максимальное значение сдвига составляет

\ [ \ begin {eqnarray} \ tau_ {max} & = & {\ sigma_ {max} – \ sigma_ {min} \ over 2} \\ \\ & = & (433 – 24) / 2 \\ \\ & = & 204 \ end {eqnarray} \]

2-D основные штаммы

Эта страница выполняет полные трехмерные тензорные преобразования, но все еще может использоваться для двумерных задач .. Введите значения в верхнем левом углу 2×2 и поверните в плоскости 1-2, чтобы выполнять преобразования в 2-D. На скриншоте ниже показан случай чистого сдвига. повернули на 45 °, чтобы получить основные деформации. Также обратите внимание, как матрица \ ({\ bf Q} \) трансформирует.

На рисунке ниже показаны деформированные формы, соответствующие случаю чистого сдвига в тензоре преобразовать пример веб-страницы. Синий квадрат, совмещенный с осями, явно подвергается сдвигу. Но красный квадрат, вписанный в больший синий квадрат, видит только простое растяжение и сжатие. Это основные значения чистой сдвиговой деформации в глобальной системе координат.

В двухмерном режиме ориентацию основной деформации \ (\ theta_P \) можно вычислить, задав \ (\ gamma ‘\! _ {xy} = 0 \) в приведенном выше уравнении сдвига и решение для \ (\ theta \) чтобы получить \ (\ theta_P \), главный угол деформации.2 \ theta_P) \]
Это дает

\ [ \ загар (2 \ theta_P) \; знак равно {\ gamma_ {xy} \ over \ epsilon_ {xx} – \ epsilon_ {yy}} \; знак равно {2 \ epsilon_ {xy} \ over \ epsilon_ {xx} – \ epsilon_ {yy}} \]
Матрица преобразования, \ ({\ bf Q} \), является

\ [ {\ bf Q} = \ left [\ matrix { \; \; \; \ cos \ theta_P & \ sin \ theta_P \\ – \ sin \ theta_P & \ cos \ theta_P } \верно] \]
Вставка этого значения для \ (\ theta_P \) обратно в уравнения для нормальных деформаций дает основные ценности. Они записываются как \ (\ epsilon_ {max} \) и \ (\ epsilon_ {min} \), или, альтернативно, как \ (\ epsilon_1 \) и \ (\ epsilon_2 \).Т \) с \ ({\ bf Q} \) на основе \ (\ theta_P \).

Обозначение основной деформации

Пример двухмерного основного штамма

\ [ \ boldsymbol {\ epsilon} = \ left [\ matrix { 0.\ circ)} \верно] \\ \\ \\ знак равно \оставил[ \ matrix {0.611 & \; \; \; 0.000 \\ 0,000 и -0,311} \верно] \ end {eqnarray} \]
Это подтверждает, что значение основной деформации 0,611 в слоте \ (\ epsilon_ {11} \) действительно 20,3 ° от оси X. Значение \ (\ epsilon_ {22} \) находится на 90 ° от первого.

3-D основные штаммы

\ [ \оставил[ \ matrix {E ‘_ {11} & E’ _ {12} & E ‘_ {13} \\ E ‘_ {12} & E’ _ {22} & E ‘_ {23} \\ E ‘_ {13} & E’ _ {23} & E ‘_ {33}} \ right] = \оставил[ \ matrix {q_ {11} & q_ {12} & q_ {13} \\ q_ {21} & q_ {22} & q_ {23} \\ q_ {31} и q_ {32} и q_ {33}} \верно] \оставил[ \ matrix {E_ {11} & E_ {12} & E_ {13} \\ E_ {12} и E_ {22} и E_ {23} \\ E_ {13} и E_ {23} и E_ {33}} \верно] \оставил[ \ matrix {q_ {11} & q_ {21} & q_ {31} \\ q_ {12} & q_ {22} & q_ {32} \\ q_ {13} и q_ {23} и q_ {33}} \верно] \]
Вторая матрица \ ({\ bf Q} \) снова является транспонированной первой.

Эта страница выполняет тензорные преобразования.

И эта страница вычисляет главные значения (собственные значения) и главные направления (собственные векторы).

Важно помнить, что входные данные на обеих страницах должны быть симметричными. По факту, обе страницы обеспечивают это.

Собственные значения, указанные выше, могут быть записаны в матричной форме как

\ [ {\ bf E} = \ left [\ matrix { 0,243 & 0 & 0 \\ 0 & 1,256 & 0 \\ 0 & 0 & 4.338 } \верно] \]

Максимальный сдвиг

\ [ \ gamma_ {max} = \ epsilon_ {max} – \ epsilon_ {min} \]
Это применимо как к 2-D, так и к 3-D. Максимальный сдвиг всегда возникает в ориентация системы координат, которая повернута на 45 ° от основной система координат. Для тензора главных деформаций, приведенного выше

\ [ {\ bf E} = \ left [\ matrix { 0,243 & 0 & 0 \\ 0 & 1,256 & 0 \\ 0 & 0 & 4.338 } \верно] \]
Максимальная и минимальная основные деформации находятся в слотах \ (E_ {33} \) и \ (E_ {11} \), соответственно.Таким образом, максимальная ориентация сдвига достигается вращением главную систему координат на 45 ° в плоскости (\ (1-3 \)).

Само максимальное значение сдвига составляет

\ [ \ begin {eqnarray} \ gamma_ {max} & = & \ epsilon_ {max} – \ epsilon_ {min} \\ \\ & = & 4. T \]
где \ ({\ bf A} \) – любая симметричная матрица.Т \! \ cdot {\ bf F} \) для резины всегда равно 1, потому что резина несжимаема. Так что это не только константа, не зависит от преобразований координат, но это даже постоянная величина, всегда равно 1, независимо от преобразований координат и состояния деформации.

Штамм

Введение

Нормальные штаммы

\ [ \ epsilon = {\ Delta L \ over L_o} \]
, где количества определены в эскизе. Это также известно как Инженерный штамм . Обратите внимание, что когда \ (\ Delta L \) мало, то \ (L_o \) будет настолько близок к \ (L_f \), что спецификация любого в знаменатель \ (\ Delta L / L \) на самом деле не нужен.Это будет предполагается, что это так на этой странице.

Это определение вытекает из того факта, что если натянуть веревку длиной 1 м и выходит из строя после растяжения 0,015 м, тогда мы ожидаем 10-метровой веревку растянуть на 0,15 м до того, как она сломается. В каждом случае деформация \ (\ epsilon \) = 0,015, или 1,5%, и является постоянным значением, не зависящим от length, даже если \ (\ Delta L’s \) – разные значения в двух случаях. Точно так же можно найти силу, необходимую для натяжения веревки на заданную величину. зависеть только от натяжения веревки.Именно эта основополагающая концепция деформации делает это определение полезным.

Деформация сдвига

\ [ \ gamma = {D \ над T} \]
Это сдвиговая версия инженерной деформации. Обратите внимание, что эта ситуация включает некоторое вращение твердого тела, потому что квадрат здесь имеет тенденцию вращаться против часовой стрелки, но мы будем пока не обращайте внимания на это осложнение.

Чистая деформация сдвига

\ [ \ gamma = {\ Delta x + \ Delta y \ over T} \]
, где предполагается, что начальная точка также является квадратом.Следует отметить, что два определения приводят к одним и тем же результатам, когда смещения и деформации маленькие. Другими словами

\ [ \ Delta x = \ Delta y = {D \ over 2} \ qquad \ text {(небольшие деформации)} \]
Это позволяет мыслить в терминах первого определения, используя второе.

Общие определения

Ответ на эту дилемму … исчисление. Подход заключается в определении различных штаммов в терминах частных производных поля смещения, \ ({\ bf u ({\ bf X})} \), таким образом, что приведенные выше определения сохраняются для простых случаев.

Нормальные штаммы

\ [ \ epsilon_x = {\ partial \, u_x \ over \ partial X} \ qquad \ epsilon_y = {\ partial \, u_y \ over \ partial Y} \ qquad \ epsilon_z = {\ partial \, u_z \ over \ partial Z} \]

\ [ x = \ left ({X \ over L_o} \ right) L_f \]
и поскольку \ ({\ bf u} = {\ bf x} – {\ bf X} \), небольшая алгебра может быть применяется, чтобы дать

\ [ u_x = \ left ({X \ over L_o} \ right) \ left (L_f – L_o \ right) \]
Так

\ [ \ epsilon_x \ quad = \ quad {\ partial \, u_x \ over \ partial X} \ quad = \ quad {L_f – L_o \ over L_o} \ quad = \ quad {\ Delta L \ over L_o} \]
, который воспроизводит определение «дельта L над L» по желанию.

Деформация сдвига

\ [ \ gamma_ {xy} = {\ partial \, u_y \ over \ partial X} + {\ partial \, u_x \ over \ partial Y} \]
Уравнение отображения координат для примера сдвига:

\ [ \ begin {eqnarray} х & = & X \\ у & = & Y + X D / T \ end {eqnarray} \]
А поле смещения

\ [ \ begin {eqnarray} u_x & = & 0 \\ u_y & = & X D / T \ end {eqnarray} \]
Деформация сдвига равна

\ [ \ gamma_ {xy} \ quad = \ quad {\ partial \, u_y \ over \ partial X} + {\ partial \, u_x \ over \ partial Y} \ quad = \ quad {\ partial \, (X D / T) \ over \ partial X} + {\ partial \, (0) \ over \ partial Y} \ quad = \ quad {D \ над T} \]
Это воспроизводит желаемый результат для этого простого случая: \ (\ gamma_ {xy} = D / T \).

Симметрия уравнения также гарантирует, что вычисленное значение сдвига также удовлетворяет критерию отсутствия вращения сети. Координатное отображение уравнения для этого примера

\ [ \ begin {eqnarray} x & = & X & + & Y \ Delta x / T \\ y & = & Y & + & X \ Delta y / T \ end {eqnarray} \]
и они приводят к

\ [ \ gamma_ {xy} = {\ Delta x + \ Delta y \ over T} \]
, что снова дает желаемый результат.

Двумерное обозначение

\ [ \ boldsymbol {\ epsilon} = \ left [\ matrix { \ epsilon_ {11} & \ epsilon_ {12} \\ \ epsilon_ {12} & \ epsilon_ {22}} \верно] знак равно \ left [\ matrix { \ epsilon_ {xx} & \ epsilon_ {xy} \\ \ epsilon_ {xy} & \ epsilon_ {yy}} \верно] знак равно \ left [\ matrix { \ epsilon_ {xx} & \ gamma_ {xy} / 2 \\ \ gamma_ {xy} / 2 & \ epsilon_ {yy}} \верно] \]
Установка \ (\ gamma_ {xy} = \ gamma_ {yx} \) имеет эффект создания (фактически требует) тензоры деформаций симметричны.

Термины тензорного сдвига

\ [ \ gamma_ {ij} = 2 \ epsilon_ {ij} \]
Всегда, всегда, всегда так, если \ (\ gamma_ {xy} = D / T = 0.10 \), то тензор деформации будет содержать

\ [ \ boldsymbol {\ epsilon} = \ left [\ matrix { … & 0,05 & … \\ 0,05 & … & … \\ … & … & … } \верно] \]
В качестве альтернативы, если тензор деформации

\ [ \ boldsymbol {\ epsilon} = \ left [\ matrix { … & 0,02 & … \\ 0,02 & … & … \\ … & … & … } \верно] \]
, тогда \ (\ gamma_ {xy} = D / T = 0,04 \).

Трехмерное обозначение

\ [ \ boldsymbol {\ epsilon} = \ left [\ matrix { \ epsilon_ {11} & \ epsilon_ {12} & \ epsilon_ {13} \\ \ epsilon_ {21} & \ epsilon_ {22} & \ epsilon_ {23} \\ \ epsilon_ {31} & \ epsilon_ {32} & \ epsilon_ {33}} \верно] знак равно \ left [\ matrix { \ epsilon_ {xx} & \ epsilon_ {xy} & \ epsilon_ {xz} \\ \ epsilon_ {yx} & \ epsilon_ {yy} & \ epsilon_ {yz} \\ \ epsilon_ {zx} & \ epsilon_ {zy} & \ epsilon_ {zz}} \верно] знак равно \ left [\ matrix { \ epsilon_ {xx} & \ gamma_ {xy} / 2 & \ gamma_ {xz} / 2 \\ \ gamma_ {yx} / 2 & \ epsilon_ {yy} & \ gamma_ {yz} / 2 \\ \ gamma_ {zx} / 2 & \ gamma_ {zy} / 2 & \ epsilon_ {zz}} \верно] \]
Исключение поворотов твердого тела из тензора деформаций приводит к \ (\ gamma_ {xy} = \ gamma_ {yx} \), \ (\ gamma_ {xz} = \ gamma_ {zx} \) и \ (\ gamma_ {yz} = \ gamma_ {zy} \).Это также дает симметричные тензоры.

\ [ \ boldsymbol {\ epsilon} = \ left [\ matrix { \ epsilon_ {11} & \ epsilon_ {12} & \ epsilon_ {13} \\ \ epsilon_ {12} & \ epsilon_ {22} & \ epsilon_ {23} \\ \ epsilon_ {13} & \ epsilon_ {23} & \ epsilon_ {33}} \верно] знак равно \ left [\ matrix { \ epsilon_ {xx} & \ epsilon_ {xy} & \ epsilon_ {xz} \\ \ epsilon_ {xy} & \ epsilon_ {yy} & \ epsilon_ {yz} \\ \ epsilon_ {xz} & \ epsilon_ {yz} & \ epsilon_ {zz}} \верно] знак равно \ left [\ matrix { \ epsilon_ {xx} & \ gamma_ {xy} / 2 & \ gamma_ {xz} / 2 \\ \ gamma_ {xy} / 2 & \ epsilon_ {yy} & \ gamma_ {yz} / 2 \\ \ gamma_ {xz} / 2 & \ gamma_ {yz} / 2 & \ epsilon_ {zz}} \верно] \]

Преобразование координат

Введение

Основным аспектом преобразования координат является оценка матрицы преобразования, особенно в 3-D. Это затрагивается здесь и подробно обсуждается на Следующая страница.

Очень важно понимать, что все преобразования координат на этой странице – это вращения. системы координат, в то время как сам объект остается неподвижным.«Объект» может быть вектором, таким как сила или скорость, или тензор, такой как напряжение или деформация в компоненте. Вращение объектов обсуждается в следующих разделах.

Двумерные преобразования координат векторов

На картофеле слева есть вектор.Но без система координат, нет способа описать вектор. Таким образом, к картофелю была добавлена ​​система координат, как показано справа, что позволяет вектор, который теперь описывается как \ ({\ bf v} = 2 {\ bf i} + 9 {\ bf j} \).

\ [ v’_x = \; \; \; v_x \ cos \ theta + v_y \ sin \ theta \] \ [ v’_y = -v_x \ sin \ theta + v_y \ cos \ theta \]
В этом можно убедиться, отметив, что

• часть \ (v_x \), которая лежит вдоль оси \ (x ‘\), равна \ (v_x \ cos \ theta \)
• часть \ (v_y \), которая лежит вдоль оси \ (x ‘\), равна \ (v_y \ sin \ theta \)
• часть \ (v_x \), которая лежит вдоль оси \ (y ‘\), равна \ (- v_x \ sin \ theta \)
• часть \ (v_y \), которая лежит вдоль оси \ (y ‘\), равна \ (v_y \ cos \ theta \)

Матрица преобразования

\ [ \ left \ {\ matrix {v’_x \\ v’_y} \ right \} = \ left [\ matrix {\; \; \; \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ – \ sin \ theta & \ cos \ theta} \ right] \ left \ {\ matrix {v_x \\ v_y} \ right \} \]
Члены \ (\ cos \ theta \) находятся на диагонали матрицы, в то время как \ (\ sin \ theta \) термины недиагональные.Единственный потенциал gotcha – вспомнить, какой Термин \ (\ sin \ theta \) отмечен знаком минус. Это всегда нижний левый член.

Вышеприведенное уравнение записано в матричной записи как

\ [ {\ bf v ‘} = {\ bf Q} \ cdot {\ bf v} \]
где \ ({\ bf Q} \) – обычная буква, выбираемая для матрицы преобразования.

Матрицы преобразования и вращения

Однако позже мы рассмотрим ситуации, когда объект вращается, когда система координат остается фиксированной. В этом сценарии термин матрица вращения будет использоваться, чтобы подчеркнуть, что объект вращается.

Большая путаница возникает из-за того удивительного факта, что каждый матрица (преобразование и вращение) – это просто транспонирование другой! Так что они очень похожи.В двумерных задачах единственная практическая разница в том, стоит ли знак минус перед \ (\ sin \ theta \) находится в члене \ (q_ {12} \) или в члене \ (q_ {21} \).

Свойства матрицы преобразования

Формулировка матрицы преобразования

\ [ {\ bf Q} = \ left [ \ matrix {\ left (\ matrix {\ text {x-comp} \\ \ text {of} {\ bf i ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {y-comp} \\ \ text {of} {\ bf i ‘}} \ right) \\ \ left (\ matrix {\ text {x-comp} \\ \ text {of} {\ bf j ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {y-comp} \\ \ text {of} {\ bf j ‘}} \ right)} \верно] \]
«x-comp of \ ({\ bf i ‘} \)» означает x-компоненту единичного вектора \ ({\ bf i’} \).Обратите особое внимание на то, какие термины имеют простые числа, а какие нет. Не путайте это с «x’-компонентом», потому что «x’-comp of \ ({\ bf i ‘} \)» просто 1. Еще один способ сказать, что это “первый компонент \ ({\ bf i ‘} \) единичный вектор в эталонной системе координат \ (x-y \) без штрихов “.

Таким образом,

• x-comp для \ ({\ bf i ‘} \) равен \ (\ cos \ theta \)
• y-comp для \ ({\ bf i ‘} \) – это \ (\ sin \ theta \)
• x-comp для \ ({\ bf j ‘} \) равен \ (- \ sin \ theta \)
• y-образ \ ({\ bf j ‘} \) равен \ (\ cos \ theta \)

Тензорная запись

\ [ v’_i = \ lambda_ {ij} v_j \]
где \ (\ lambda_ {ij} \) – матрица преобразования \ ({\ bf Q} \).(Я не знаю почему \ ({\ bf Q} \) используется в матричной записи, но \ (\ lambda_ {ij} \), а не \ (q_ {ij} \), используется в тензорной записи.) \ (\ lambda_ {ij} \) определяется как

\ [ \ lambda_ {ij} = \ cos (x’_i, x_j) \]
Например, если \ (i = 1 \) и \ (j = 2 \), то

\ [ \ lambda_ {12} = \ cos (x’_1, x_2) = \ cos (x ‘, y) \]
\ (\ lambda_ {ij} \) – направляющий косинус угла между Ось \ (x’_i \) и ось \ (x_j \). Опять же, это одинаково применимо и к трехмерным преобразованиям.T = {\ bf I} \ qquad \ qquad \ text {и} \ qquad \ qquad \ lambda_ {ik} \ lambda_ {jk} = \ delta_ {ij} \]
Это показывает, что транспонирование матрицы преобразования также это наоборот.

Двумерные преобразования координат тензоров

Преобразования координат тензоров 2-го ранга включают в себя те же самые \ ({\ bf Q} \) матрица как векторные преобразования.Т \]
Явная запись матриц дает

\ [ \ left [\ matrix {\ sigma ‘_ {xx} & \ sigma’ _ {xy} \\ \ sigma ‘_ {xy} & \ sigma’ _ {yy}} \ right] = \ left [\ matrix {\; \; \; \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ – \ sin \ theta & \ cos \ theta} \ right] \ left [\ matrix {\ sigma_ {xx} & \ sigma_ {xy} \\ \ sigma_ {xy} & \ sigma_ {yy}} \ right] \ left [\ matrix {\ cos \ theta & – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \; \; \; \ cos \ theta} \ right] \]
(Обратите внимание, что тензор напряжений всегда симметричен, даже после преобразований.2 \ theta) \ end {eqnarray} \]
Эти три уравнения являются в точности двумерным преобразованием тензора напряжений, полученного в результате суммирование сил на дифференциальном элементе и установление равновесия. Это тоже представлен кругом Мора.

Преобразования векторов против тензоров

Тензорная запись

\ [ \ sigma ‘_ {mn} = \ lambda_ {mi} \ lambda_ {nj} \ sigma_ {ij} \]
Как обычно, тензорная запись дает дополнительные понимание процесса.На этот раз понимание исходит из нижних индексов на лямбды. Каждая лямбда эффективно объединяет нижний индекс в \ (\ boldsymbol {\ sigma ‘} \) с одним на \ (\ boldsymbol {\ sigma} \). Это верно независимо от ранга тензора.

Трехмерные преобразования координат векторов

\ [ {\ bf v ‘} = {\ bf Q} \ cdot {\ bf v} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad v’_i = \ lambda_ {ij} v_j \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ lambda_ {ij} = \ cos (x’_i, x_j) \]
Только сейчас детали другие.Векторы имеют z-компоненты и преобразование матрицы 3×3 вместо 2×2.

\ [ {\ bf v} = \ left \ {\ matrix {v_x \\ v_y \\ v_z} \ right \} \ qquad \ qquad \ text {и} \ qquad \ qquad {\ bf Q} = \ left [ \ matrix {\ cos (x ‘, x) & \ cos (x’, y) & \ cos (x ‘, z) \\ \ cos (y ‘, x) & \ cos (y’, y) & \ cos (y ‘, z) \\ \ cos (z ‘, x) & \ cos (z’, y) & \ cos (z ‘, z)} \ right] \]
\ [ {\ bf Q} = \ left [ \ matrix {\ left (\ matrix {\ text {x-comp} \\ \ text {of} {\ bf i ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {y-comp} \\ \ text {of} {\ bf i ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {z-comp} \\ \ text {of} {\ bf i ‘}} \ right) \\ \ left (\ matrix {\ text {x-comp} \\ \ text {of} {\ bf j ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {y-comp} \\ \ text {of} {\ bf j ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {z-comp} \\ \ text {of} {\ bf j ‘}} \ right) \\ \ left (\ matrix {\ text {x-comp} \\ \ text {of} {\ bf k ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {y-comp} \\ \ text {of} {\ bf k ‘}} \ right) & \ left (\ matrix {\ text {z-comp} \\ \ text {of} {\ bf k ‘}} \ right)} \верно] \]
\ [ \ left \ {\ matrix {v’_x \\ v’_y \\ v’_z} \ right \} = \оставил[ \ matrix {\ cos (x ‘, x) & \ cos (x’, y) & \ cos (x ‘, z) \\ \ cos (y ‘, x) & \ cos (y’, y) & \ cos (y ‘, z) \\ \ cos (z ‘, x) & \ cos (z’, y) & \ cos (z ‘, z)} \ right] \ left \ {\ matrix {v_x \\ v_y \\ v_z} \ right \} \]

Трехмерные преобразования координат тензоров

\ [ \оставил[ \ matrix {\ sigma ‘_ {xx} & \ sigma’ _ {xy} & \ sigma ‘_ {xz} \\ \ sigma ‘_ {xy} & \ sigma’ _ {yy} & \ sigma ‘_ {yz} \\ \ sigma ‘_ {xz} & \ sigma’ _ {yz} & \ sigma ‘_ {zz}} \ right] = \оставил[ \ matrix {\ cos (x ‘, x) & \ cos (x’, y) & \ cos (x ‘, z) \\ \ cos (y ‘, x) & \ cos (y’, y) & \ cos (y ‘, z) \\ \ cos (z ‘, x) & \ cos (z’, y) & \ cos (z ‘, z)} \верно] \оставил[ \ matrix {\ sigma_ {xx} & \ sigma_ {xy} & \ sigma_ {xz} \\ \ sigma_ {xy} & \ sigma_ {yy} & \ sigma_ {yz} \\ \ sigma_ {xz} & \ sigma_ {yz} & \ sigma_ {zz}} \верно] \оставил[ \ matrix {\ cos (x ‘, x) & \ cos (y’, x) & \ cos (z ‘, x) \\ \ cos (x ‘, y) & \ cos (y’, y) & \ cos (z ‘, y) \\ \ cos (x ‘, z) & \ cos (y’, z) & \ cos (z ‘, z)} \верно] \]
Эта веб-страница выполняет преобразования координат в трехмерных тензорах.Попробуйте сами.

Преобразования координат тензоров 4-го ранга

\ [ C ‘_ {ijkl} = \ lambda_ {im} \ lambda_ {jn} \ lambda_ {ko} \ lambda_ {lp} C_ {mnop} \]
Тензорное уравнение указывает, как записать преобразование в матричной записи.Т \]

Пример тензорного преобразования 4-го ранга

В 2-D, \ ({\ bf Q} \) и \ (\ lambda_ {ij} \) определяются как

\ [ {\ bf Q} = \ left [\ matrix {\; \; \; \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ – \ sin \ theta & \ cos \ theta} \ right] \]
, который является частным случаем более общей трехмерной формы

\ [ {\ bf Q} = \оставил[ \ matrix {\ cos (x ‘, x) & \ cos (x’, y) & \ cos (x ‘, z) \\ \ cos (y ‘, x) & \ cos (y’, y) & \ cos (y ‘, z) \\ \ cos (z ‘, x) & \ cos (z’, y) & \ cos (z ‘, z)} \верно] \]
где \ (\ cos (x ‘, x) \) – направляющий косинус угла между повернутая ось \ (x ‘\) и опорная ось \ (x \).Т \]
в матричных обозначениях и

\ [ C ‘_ {ijkl} = \ lambda_ {im} \ lambda_ {jn} \ lambda_ {ko} \ lambda_ {lp} C_ {mnop} \]
в тензорной записи.

Лекций по физике сплошной среды | Открыть Мичиган

Нарушение механики континуума при ряби графена на длине волны нанометров

Ожидается, что наноразмерный ландшафт заметно повлияет на электронные свойства идеально двумерных графеновых мембран ^8,9,10 .Когда локальная кривизна листа графена имеет нанометровый масштаб, электронная структура существенно модифицируется за счет изменения π -орбитальной энергии ( σ – π rehybridization ⁷ ) и изменения интегралов перескока ближайших соседей , который может вызвать локальный сдвиг электрохимического потенциала ⁹ , а также вызвать большие псевдомагнитные поля ^3,4 . Фактически, графену ¹¹ присущи случайные морщины нанометрового размера, вызывающие пространственно неупорядоченные флуктуации плотности заряда, которые действуют как источник беспорядка для распространяющихся носителей заряда ^12,13 .Напротив, периодическая рябь с нанометровой длиной волны, если она достигается, включает в себя гораздо более богатую физику, приводя к возникновению электронных сверхрешеток ⁹ , которые коренным образом изменяют энергетическую дисперсию квазичастиц и могут сделать скорость распространения носителей заряда сильно анизотропной ¹⁴ . Кроме того, было предсказано, что периодическая рябь графена может быть использована для открытия (псевдо) запрещенной зоны ^3,9 , что может устранить литографический рисунок графена и, следовательно, проблему качества края.

Инженерия периодической ряби микрометрового масштаба в подвешенном графене была экспериментально продемонстрирована ⁶ с длинами волн от нескольких сотен нанометров до нескольких микрометров. Было обнаружено, что в описанном режиме ряби результаты довольно точно соответствуют предсказаниям механики сплошной пластины ⁶ .

Чтобы использовать наномеханические характеристики графена, особенно интересно исследовать, до какой шкалы длины сохраняется классическое мембранное поведение графена и как оно изменяется ниже.Кроме того, поскольку ожидается, что влияние ряби на электронную структуру, а также химическую реакционную способность ¹⁵ графена заметно возрастет с локальной кривизной ⁸ , уменьшение длины волны пульсации до нанометрового режима также имеет большое практическое значение. актуальность. Чтобы реализовать наноразмерную периодическую рябь графена, можно использовать инженерию деформации подвешенных графеновых мембран нанометрового размера, так как длина волны пульсации должна масштабироваться с квадратным корнем из размеров мембраны ¹⁶ .

Здесь мы показываем, что такие суспендированные графеновые наномембраны естественным образом образуются при выращивании графена на монокристаллах Cu (111) методом химического осаждения из газовой фазы. Исследование образцов после выращивания методом сканирующей туннельной микроскопии (СТМ) показало наличие реконструированных участков поверхности Cu под сплошным слоем графена. Эти реконструкции поверхности Cu (111) состоят из кластеров адатомов Cu однослойной высоты, а также островков вакансий в виде канавок (см. Рис. 1а). Ранее сообщалось о подобных реконструкциях на монокристаллических поверхностях Cu и Ag ^17,18 .Для получения более подробной информации о пробоподготовке и происхождении реконструкций поверхности см. Дополнительную информацию. Островки вакансий в форме канавки имеют четко выраженную ширину около 5 нм, а их длина обычно находится в диапазоне 20–80 нм. Топографические СТМ-изображения с атомным разрешением показывают сотовую решетку графена по всей поверхности образца, включая поверхность образца. адатомные прокладки и наноканавки, последние особенности которых образуют ленточные области подвешенных графеновых наномембран.Как свидетельствуют измерения СТМ с высоким разрешением, эти наномембраны демонстрируют очень регулярные периодические колебания с длиной волны ~ 0,7 нм и модуляцией ~ 0,1 нм, наложенной на сотовую атомную решетку графена (рис. 1b и 2). Сообщаемый режим наноразрывов (с λ, = 0,7 ± 0,1 нм, A = 0,5 ± 0,2 Å) наблюдался во всех более чем тридцати исследованных траншеях. Периодические колебания на СТМ-изображениях графена часто можно объяснить интерференцией электронов ¹⁹ .Ожидается, что из-за своей природы эти интерференционные картины будут сильно зависеть от напряжения (энергии) смещения, используемого для построения изображения ²⁰ . Однако в нашем случае экспериментально наблюдаемая картина практически не изменилась (за исключением небольшого изменения амплитуды) при изменении напряжения смещения. Это явный признак его топографического (структурного) происхождения. Мы также могли исключить возможность того, что наблюдаемые особенности представляют собой муаровые узоры ^2,18 , поскольку лист графена не находится в прямом контакте с подложкой над канавками (прямые доказательства см. В дополнительной информации).Мы предлагаем следующий механизм образования графеновых наночастиц. Во время роста графена при температуре около 1000 ° C (ссылка 21) происходит массовая миграция поверхностных атомов Cu под растущим графеном ²² . Это приводит к наблюдаемым поверхностным реконструкциям, включая наноканавки. При охлаждении образца от роста (~ 1000 ° C) до комнатной температуры подложка Cu сжимается, а заросший слой графена пытается расшириться в соответствии с его отрицательным коэффициентом теплового расширения ⁶ .Следовательно, когда графен находится в прямом контакте, то есть прикреплен к Cu-подложке, он подвергается сильному сжимающему напряжению, что также предполагалось предыдущими исследованиями комбинационного рассеяния света ²³ . Однако в тех областях, где графен подвешен над наноканавками, допускается ослабление некоторой сжимающей деформации за счет деформации вне плоскости (волнистость). Величина деформации из-за охлаждения до комнатной температуры может быть приблизительно равна: ɛ ≈Δ T ( α _Cu – α _Gr ), где Δ T – разница температур между 1000 ° C и окружающей среды, и α _Cu = 16.6 × 10 ⁻⁶ K ⁻¹ и α _Gr = −7 × 10 ⁻⁶ K ⁻¹ – коэффициент теплового расширения для Cu и графена, соответственно. Эта формула оценивает возникающую деформацию сжатия в выращенных образцах графена до ɛ = 2,2%. Здесь мы отмечаем, что это только приблизительная оценка, поскольку ожидается, что коэффициент теплового расширения графена также будет зависеть от температуры ²⁴ . Деформация также может быть экспериментально оценена путем измерения длины поверхности ряби графена ²³ , что дает аналогичные значения деформации в несколько процентов.Эта термически индуцированная деформация ответственна за образование наблюдаемых наночастиц во взвешенных областях графена.

изображение , СТМ (300 × 300 нм) реконструированной поверхности Cu (111), непрерывно покрытой графеном. Прямоугольные выступы представляют собой кластеры адатомов Cu высотой в один атом, в то время как канавки соответствуют островкам вакансий с четко определенной шириной 5 нм и ориентированы в трех конкретных направлениях. b , СТМ-изображение нанотрубки с высоким разрешением, показывающее периодическую рябь графеновой мембраны, подвешенной над канавкой, в наномасштабе.

– изображение , СТМ, показывающее несколько наноканавок разной ориентации, все из которых демонстрируют графеновые наночастицы над канавками с гребнями волн, всегда перпендикулярными краям канавки. На плоских участках между траншеями наблюдается муаровый узор.b , СТМ-изображение нанотрешечки с атомным разрешением, демонстрирующее субнанометрическую рябь графена. На увеличенных вставках видна сотовая решетка графена как на плоской подложке (внизу справа), так и на волнистой области над канавками (вверху слева). c , Поперечное сечение ряби графена с длиной волны 0,7 нм и амплитудой 0,05 нм. Дополнительную гофру линии можно объяснить положением атомов C.

Когда кривизна кристаллической мембраны становится соизмеримой с постоянной решетки, применимость механики сплошной среды становится неопределенной.Чтобы проверить, остается ли классическое поведение графена, наблюдаемое для ряби ⁶ микрометрового масштаба, справедливым и на наномасштабе, мы попытались интерпретировать наблюдаемые графеновые наночастицы в рамках установленных рамок механики сплошной среды. Периодическая рябь, возникающая в сжатой тонкой пластине толщиной t , подвешенной над траншеей шириной L , характеризуется ^16,25 :

Здесь λ и A – длина волны и амплитуда развивается волнистый режим, и ɛ – это деформация сжатия по краям траншеи.

Несмотря на то, что приведенные выше формулы получены и проверены на макроскопическом уровне, они были успешно применены для описания волнистости подвешенных (многослойных) листов графена на микроскопических длинах волн ( λ > 300 нм; ссылка 6). Вынужденный применить их к монослою, сразу сталкиваешься с неоднозначностью определения толщины t для одиночного слоя атомов углерода. Один подход ²⁶ состоит в том, чтобы назначить t = 3,35 Å, то есть экспериментально измеренное расстояние между слоями в графите.Используя значения параметров L = 5 нм (ширина мембраны) и ɛ = 2%, соответствующие нашим экспериментам, вместе с коэффициентом Пуассона в плоскости ( ν = 0,16), эти формулы дают длину волны λ _theor = 4,2 нм и амплитуда A _theor = 2,6 Å. Это резко контрастирует с нашими измерениями ( λ _exp = 0,7 нм, A _exp = 0,5 Å). Изменение деформации от 0,5% до 5% для учета экспериментальной неопределенности не приводит к значительному улучшению согласия.Другой подход состоит в том, чтобы основывать наше моделирование на пластине с эффективной толщиной t = 0,8 Å, полученной из атомистически рассчитанных в плоскости (26,6 эВ Å ^-2 ) и изгибных (1,6 эВ на атом) констант монослоя ^{7 , 27} . Эта вторая модель предсказывает совсем другой режим ряби с длиной волны λ _theor = 2 нм и амплитудой A _theor = 1,3 Å, что все еще явно контрастирует с экспериментальными данными.

Помимо значений измеренных индивидуальных величин ( λ , A ), мы также исследовали справедливость связывающих их механических уравнений сплошной среды.Особенно полезное соотношение для проверки этого можно установить, объединив уравнения (1a) и (1b). Таким образом можно устранить деформацию (которую невозможно точно измерить) и получить:. При подаче соответствующих значений параметров ( A = 0,05 нм, λ = 0,7 нм, L = 5 нм, v = 0,16, t = 0,335 нм) указанное выше соотношение явно не выполняется на порядок величина даже для t = 0,8 Å.

Неспособность феноменологической модели континуума описать своеобразную субнанометрическую рябь, наблюдаемую в наших экспериментах, побудила нас выполнить точное моделирование на микроскопическом уровне.Мы изучили волнистость отдельно стоящих графеновых нанолент с фиксированными краями кресла с помощью моделирования релаксации сопряженного градиента и основанного на функционале плотности межатомного потенциала сильной связи ^7,27 , который явно описывает σ и π C– C соединение графена. Чтобы точно имитировать граничные условия с уменьшенным числом атомов, область моделирования, содержащая 600 атомов, была помещена в периодические граничные условия по размеру z , который соответствует длинному размеру нанотреска.Размер траншеи был явно смоделирован как расстояние между двумя напряженными линиями димера, расположенными по краям, размером L = 5,7 нм. Дополнительные технические подробности метода моделирования см. В разделе «Дополнительная информация». В отличие от модели континуума, мы обнаружили, что микроскопический подход может восстановить субнанометрическую рябь и, таким образом, подтверждает нашу интерпретацию наблюдений СТМ. Действительно, на рис. 3а показана периодическая рябь, проявляемая графеновой лентой, подвергнутой двухосному сжатию по краю на 5%.Этот метастабильный режим ряби дает энергетическое преимущество 62 мэВ на атом по сравнению со сжатой плоской морфологией. Его длина волны 0,8 нм и амплитуда 0,5 Å (рис. 3b) отлично согласуются с нашими экспериментальными результатами.

a , b Моделирование бесконечно длинной графеновой наноленты шириной 5,7 нм, подвергнутой 5% -ному сжатию в плоскости, демонстрируя морфологию периодической ряби ( a ) 0.Длина волны 8 нм и модуляция 1 Å ( b ). c , Подробная информация о длинах связей C – C; цветовая шкала показывает профиль высоты со светлыми (темно-синими) атомами на высоте 0,5 (-0,5) Å.

Поразительный контраст с предсказаниями модели на основе пластин t = 3,35 Å является проявлением разрушения феноменологии пластины ⁷ . В монослое сопротивление изгибу связано с π -орбитальным смещением между соседними парами атомов C и может быть полностью отделено от деформаций связи σ в плоскости.Таким образом, атомная мембрана с такой жесткой связью в плоскости, как связи σ графена, может колебаться в субнанометрическом масштабе, что означает почти полное отсутствие сопротивления деформациям вне плоскости. Такое поведение резко контрастирует с феноменологией классической пластины континуума, где изгиб пластины всегда вызывает растяжение и сжатие в плоскости на противоположных сторонах нейтральной искривленной поверхности. Тем не менее, неисправность континуальной модели выходит за рамки вопроса выбора подходящей толщины пластины.Неудачу модели второй пластины t = 0,8 Å, которая формально дает константу изгиба в соответствии с вышеупомянутой микроскопической моделью, можно понять на основе анализа длины связи, показанного на рис. 3c. Напомним, что как в случае равновесного плоского изгиба, так и в случае нерастяжимого изгиба, связи C – C имеют размер 1,42 Å. При релаксации через субнанометрическую рябь связи C – C все еще сохраняют значительную (~ 3,5%) деформацию сжатия. Следовательно, феноменология разрушения пластины допускает нарушение предположения о нерастяжимой деформации, которое является ключевым для вывода уравнений (1) (см.16). Конечно, экспериментальные механические ограничения, устанавливаемые наноканавками, не препятствуют возникновению режимов ряби, в которых изгиб будет осуществляться приблизительно нерастяжимым образом.

Поскольку атомистические механизмы позволяют намного легче деформировать графен вне плоскости на наноуровне по сравнению с классическими пластинами, такое сверхмягкое поведение изгиба также может быть причиной сверхсильной адгезии монослоев к различным подложкам ²⁸ , позволяя значительно лучше приспособиться к неровностям подложки.Для сравнения, для многослойных слоев межслойная муфта восстанавливает связь между изгибом и деформациями в плоскости ⁷ , резко увеличивая жесткость на изгиб ²⁹ .

Мы также выполнили измерения с пространственно разрешенной туннельной спектроскопией ^2,10,12 , чтобы проверить, как наноразмерные структурные ряби влияют на локальные электронные свойства графена ^9,30 . В этом режиме измерения индивидуальные характеристики туннелирования I – V получают, когда наконечник фиксируется в определенном месте образца, а напряжение образца нарастает в заданном окне при измерении соответствующего туннельного тока (более подробную информацию см. Информация).На рис. 4 показана карта дифференциальной туннельной проводимости (∼ локальной плотности электронных состояний), полученная путем построения числовой производной отдельных вольт-амперных характеристик в каждом месте для смещения образца U _{смещения} = 48 мВ. Карта спектроскопии выявляет периодическую модуляцию локальной плотности электронных состояний на наноразмерной области. Это свидетельствует о том, что структурные ряби на нанометровом уровне существенно влияют на локальную электронную структуру графена, приводя к возникновению одномерных электронных сверхрешеток.

Карта дифференциальной туннельной проводимости с пространственным разрешением (построенная при U _{смещение} = 48 мВ), демонстрирующая периодическую модуляцию локальной плотности состояний на графеновых наночастицах. На врезке показано соответствующее топографическое изображение.

Способность графена колебаться до субнанометровых длин волн может быть использована в наноэлектронных и наноэлектромеханических устройствах на основе графена для расчета деформаций за пределами границ, установленных механикой сплошной среды.

Механика сплошной среды – лаборатория живой материи

me338A – механика сплошной среды

гола

Хотя основные концепции механики сплошных сред были установлены более пяти десятилетий назад, 21 век сталкивается со многими новыми и захватывающими потенциальными приложениями механики сплошных сред, которые выходят далеко за рамки стандартной классической теории. Применяя механику сплошной среды к этим сложным новым явлениям, важно понимать три основных компонента механики сплошной среды: кинематические уравнения, уравнения баланса и материальные уравнения.после краткого повторения соответствующих уравнений тензорной алгебры и анализа этот класс познакомит с основными понятиями кинематики конечных деформаций. Затем в рамках больших деформаций мы обсудим уравнения баланса для массы, импульса, момента количества движения, энергии и энтропии. в то время как все эти уравнения являются общими и действительны для любого типа материала, последняя система уравнений, определяющие уравнения, определяет конкретные подклассы материалов. в частности, мы сосредоточимся на изотропной и анизотропной гиперэластичности, а также на вязкоупругости и упругоповреждении.наконец, мы кратко обратимся к вариационным принципам, которые характеризуют основные уравнения.

градация

• 50% домашнее задание – 3 домашних задания, по 16,7% каждое
  
• 30% промежуточное задание – открытая книга, открытые заметки
  
• 20% финальный проект – письменная оценка рукописи и ее обсуждение в классе

программа

финальный проект

окончательный проект представляет собой бумажный обзор по вашему выбору, вы можете выбирать между механикой резины, биомеханикой, геомеханикой и механикой роста

(1) boyce mc, arruda em: конститутивные модели эластичности резины: обзор, химия и технология резины 73, 504-533, 2000
(2) holzapfel ga: биомеханика мягких тканей, в: справочник по поведению материалов, академическая пресса, 2000
(3) jeremic b, runesson k, sture s: конечный деформационный анализ геоматериалов, международный журнал численных и аналитических методов в геомеханике 25, 809-840, 2001
(4) rodriguez ek, hoger a, mc culloch ad: зависимый от напряжения конечный рост в мягких эластичных тканях, журнал биомеханики 27, 455-467, 1994

предложил прочитать

… это книга, которую мы будем использовать в классе …
holzapfel ga: нелинейная механика твердого тела, континуальный подход к инженерии, John Wiley & sons, 2000

… и вот еще несколько интересных книг для дополнительного чтения …
murnaghan fd: конечная деформация упругого твердого тела, John Wiley & sons, 1951
eringen ac: нелинейная теория сплошных сред, mc graw-hill, 1962
truesdell c, noll, w: нелинейные теории поля of Mechanics, Springer, 1965
eringen ac: механика сплошных сред, John Wiley & sons, 1967
malvern le: введение в механику сплошной среды, Prentice Hall, 1969
oden jt: конечные элементы нелинейных континуумов, dover reprint, 1972
chadwick p: механика сплошной среды – краткая теория и проблемы, dover reprint, 1976
ogden, rw: нелинейные упругие деформации, dover reprint, 1984
maugin ga: термодинамика пластичности и разрушения, cambridge University Press, 1992
spencer аджм: механика сплошной среды, повторное издание Dover, 1992
robers aj: одномерное введение в механику сплошной среды, world science, 1994
bonet j, wood rd: нелинейная механика сплошной среды для анализа fe, cambridge University Press, 1997
silhavy m: механика и термодинамика сплошных сред, спрингер, 1997
haupt p: механика сплошной среды и теория материалов, спрингер, 2000
podio-guidugli p: учебник по упругости, kluwer академический пресс, 2000
liu is: механика сплошной среды, спрингер, 2002
reddy jn : введение в механику сплошных сред, cambridge University Press, 2007

Механика сплошной среды: родина математических моделей

Предисловие v

1 Геометрическая настройка 1

1.1 Векторы и евклидово пространство точек 2

1.1.1 Векторы 2

1.1.2 Евклидово пространство точек 6

1.1.3 Резюме 8

1.2 Тензоры 8

1.2.1 Тензоры и векторы первого порядка 8

1,2 .2 Тензоры второго порядка 11

1.2.3 Перекрестные произведения, тройные произведения и детерминанты 15

1.2.4 Ортогональные тензоры 20

1.2.5 Инварианты тензора 21

1.2.6 Производные тензорно-значных функций 24

1.2.7 Резюме 27

2 Кинематика I: Расчет движения 29

2.1 Тела, движения и деформации 29

2.1.1 Деформация 32

2.1.2 Примеры движений 33

2.1.3 Резюме 36

2.2 Производные движения 36

2.2.1 Производные времени 37

2.2.2 Производные по положению 38

2.2.3 Градиент деформации 40

2.2.4 Резюме 42

2.3 Пути, линии тока и полосы 43

2.3.1 Три типа дуги 43

2.3.2 Пример 45

2.3.3 Резюме 49

2.4 Интегралы при движении 49

2.4.1 Интегралы по дуге, поверхности и объему 49

2.4.2 Теорема Рейнольдса о переносе 55

2.4.3 Резюме 57

3 Кинематика II: деформация и ее скорости 59

3.1 Деформация 59

3.1.1 Симметричные тензоры 60

3.1.2 Полярная декомпозиция и градиент деформации 64

3.1.3 Примеры 66

3.1.4 Тензоры Коши – Грина и деформации 68

3.1.5 Инварианты деформации 70

3.1.6 Резюме 71

3.2 Бесконечно малая деформация 72

3.2.1 Тензор бесконечно малых деформаций 72

3.2. 2 Резюме 75

3.3 Скорости деформации 75

3.3.1 Тензоры растяжения и вращения 76

3.3.2 Тензоры перекоса, вращения и завихренности 79

3.3.3 Резюме 84

3.4 Завихренность и циркуляция 84

3.4.1 Циркуляция 84

3.4.2 Резюме 88

3.5 Преобразования наблюдателя 89

3.5.1 Изменения в системе отсчета 89

3.5.2 Резюме 95

4 Закона о балансе 97

4.1 Массовый баланс 98

4.1.1 Локальные формы массового баланса 99

4.1.2 Резюме 102

4.2 Импульсный баланс 102

4.2.1 Анализ напряжения 104

4.2.2 Инерционные системы отсчета 110

4.2.3 Баланс импульса в ссылочных координатах 113

4.2.4 Резюме 114

4.3 Баланс углового момента 115

4.3.1 Симметрия тензора напряжения 117

4.3.2 Резюме 118

4.4 Энергетический баланс 119

4.4.1 Баланс тепловой энергии 122

4.4.2 Резюме 124

4.5 Неравенство энтропии 124

4.5.1 Мотивация 125

4.5.2 Неравенство Клаузиуса-Дюгема 126

4.5.3 Резюме 127

4.6 Условия перехода 127

4.6.1 Особые поверхности 129

4.6.2 Локализация 132

4.6.3 Резюме 135

5 Определяющие соотношения: примеры математических моделей 137

5.1 Теплопередача 138

5.1.1 Свойства уравнения теплопроводности 140

5.1.2 Резюме 142

5.2 Теория потенциала 143

5.2.1 Мотивация 143

5.2.2 Граничные условия 144

5.2.3 Единственность решений уравнения Пуассона 146

5 .2.4 Принцип максимума 147

5.2.5 Свойство среднего значения 150

5.2.6 Резюме 151

5.3 Механика жидкости 152

5.3.1 Идеальные жидкости 152

5.3.2 Идеальная жидкость во вращающейся системе отсчета 154

5.3.3 Акустика 155

5.3.4 Несжимаемые ньютоновские жидкости 158

5.3.5 Стокса 159

5.3.6 Резюме 163

5.4 Механика твердого тела 164

5.4.1 Статические смещения 164

5.4.2 Упругие волны 167

5.4.3 Резюме 170

6 Конститутивная теория 173

6.1 Концептуальная установка 174

6.1.1 Необходимость закрытия системы 174

6.1.2 Резюме 176

6.2 Детерминизм и равноправие 177

6.2.1 Детерминизм 177

6.2.2 Эквиприсутствие 177

6.2.3 Резюме 178

6.3 Объективность 179

6.3.1 Уменьшение функциональных зависимостей 180

6.3.2 Резюме 182

6.4 СИММЕТРИЯ 183

6.4.1 Изменения в эталонной конфигурации 183

6.4.2 Группы симметрии 186

6.4.3 Классификация материалов 189

6.4.4 Последствия для термовязких жидкостей 193

6.4.5 Резюме 193

6.5 Допустимость 194

6.5.1 Последствия неравенства энтропии 195

6.5.2 Анализ равновесия 197

6.5.3 Линейные, изотропные, термоупругие твердые тела 199

6.5.4 Резюме 202

7 Многокомпонентные континуумы ​​203

7.1 Составляющие 204

7.1.1 Конфигурации и движения 204

7.1.2 Объемные доли и плотности 206

7.1.3 Резюме 208

7.2 Многокомпонентный закон баланса 209

7.2.1 Многокомпонентный массовый баланс 210

7.2.2 Многокомпонентный импульсный баланс 212

7.2.3 Многокомпонентный баланс углового момента 214

7.2.4 Многокомпонентный энергетический баланс 215

7.2.5 Многокомпонентное энтропийное неравенство 216

7.2.6 Изотермические, нереагирующие многофазные смеси 217

7.2.7 Резюме 219

7.3 Течение жидкости в пористом твердом теле 220

7.3.1 Допущения при моделировании Пористая среда 221

7.3.2 Законы баланса для жидкой и твердой фаз 223

7.3.3 Ограничения равновесия 225

7.3.4 Линейные продолжения из равновесия 226

7.3.5 Комментарий 228

7.3.6 Возможная формулировка закона Дарси 229

7.3.7 Резюме 233

7.4 Диффузия в смеси бинарных жидкостей 234

7.4.1 Предположения моделирования для бинарной диффузии 235

7.4.2 Законы баланса для Два вида 235

7.4.3 Основополагающие отношения для диффузии 236

7.4.4 Моделирование переноса растворенных веществ 239

7.4.5 Резюме 242

A Guide to Notation 243

A.1 Общие условные обозначения 243

A.2 Буквы, зарезервированные для специального использования 244

A.3 Специальные символы 245

B Теоремы о векторном интеграле 247

B.